MÓDULO 3

REGESD – REDE GAÚCHA DE ENSINO SUPERIOR À DISTÂNCIA
SEMINÁRIO INTEGRADOR V
CIBELE PINTO ALVES
TAREFA 3 E 4
PÓLO DE SANTANA DO LIVRAMENTO


MÓDULO 3.
1º momento: A partir do software abaixo ou seja um recurso do yotube damos início ao trabalho sobre elipses , o vídeo mostra as diversas formas tridimensionais dando ênfase as elipses.

(http://www.youtube.com/watch?v=pAaFbTJg2g0)
2º momento: Discutir através do conteúdo de física , Leis de Kepler , introduzido na Geometria Analítica Espacial para resolver os cálculos propostos.

MÓDULO 4:
Definição de Elipse
A elipse é o lugar geométrico no qual a soma de suas distâncias em relação a dois pontos fixos, denominados focos (F1 e F2) é sempre constante.
Mas como isso poderia ser provado com os alunos? Uma excelente opção seria sugerir que eles construíssem um dispositivo para desenhar uma elipse. No caso da imagem abaixo, os focos são os alfinetes coloridos. Veja como criar um dispositivo para produzir elipses na imagem abaixo:

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Drawing_an_ellipse_via_two_tacks_a_loop_and_a_pen.jpg

Usando dois alfinetes, uma caneta e uma folha de papel é possível desenhar uma elipse perfeita.
Elementos de uma Elipse

Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Elipse.svg

De acordo com a imagem acima temos:
Focos: Os pontos F1 e F2.
Vértices: São os pontos A (-a, 0), B (a, 0), C (0, b), D (0, -b).
Eixo maior: É o segmento AB de cumprimento 2a.
Eixo menor: É o segmento CD de comprimento 2b.
Distância focal: Distância entre F1 e F2, chamada de 2c.
Excentricidade: é o valor dado por e = c/a. Na imagem, c = e-a. Na elipse o valor da excentricidade é sempre menor do que 1 e maior do que 0.
X: É um ponto fixo.
A equação reduzida, da elipse posicionada no centro é dada por:


Elipse ou círculo?
Observando a equação reduzida da elipse temos que quando as distâncias a e b são iguais, teremos uma excentricidade igual a 1. Assim, a elipse se torna um círculo. Nessa situação um círculo poderia ser considerado um tipo de elipse.
O Portal do Professor disponibiliza a seguinte animação:

EXERCÍCIOS:
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0
2-Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x2 + 25y2 = 225.
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.
4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(- 6 /2, 0).

RESPOSTAS:
1-SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
2-SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3-SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
4- SOLUÇÃO: Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24

5-SOLUÇÃO: Resposta: x2 + 2y2 = 3.

LEIS DE KEPLER

REGESD- REDE GAÚCHA DE ENSINO SUPERIOR À DISTÂNCIA
SEMINÁRIO INTERGRADOR V
TRABALHO DE INTERDISCIPLINARIDADE
CIBELE PINTO ALVES


FÍSICA E GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO
LEIS DE KEPLER E SUPERFÍCIES (ELIPSES)


“ E para nós é superfície que a gravidade realmente exista, aja de acordo com as leis que explicamos e que sirva abundantemente para considerar todos os movimentos dos corpos celestiais e de nosso mar.”
ISSAC NEWTON

1º MODULO:

EMBASAMENTO TEÓRICO:
FÍSICA.
Quando estamos parados em uma esquina e olhamos para os objetos que nos cercam, não percebemos o movimento da Terra ao redor do Sol. Por essa razão, a Terra foi considerada durante muito tempo como sendo o corpo que estava em repouso absoluto e em torno do qual os outros astros gravitavam. Esse era o modelo geocêntrico.
Foi preciso que mentes como as de Copérnico, Galileu e Kepler se imaginassem fora do nosso planeta, para ai, sim, poder observar o seu movimento. Usando como referência o Sol_modelo heliocêntrico – esses homens verificaram que as trajetórias dos planetas se tornavam simples e bem explicadas.

MODELO GEOCÊNTRICO

MODELO HELIOCÊNTRICO


LEIS DE KEPLER.
Johannes Kepler, nascido em dezembro de 1571 na Alemanha, foi um astrônomo e matemático bastante conhecido por elaborar as três principais leis da mecânica celeste, conhecidas como Leis de Kepler.
Matemática é mais do que uma ferramenta da Física, é a sua própria linguagem.

Conceituando as duas primeiras leis de Kepler

1ª Lei: “O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma trajetória na forma de uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos”.
(Antes de Kepler, acreditava-se que as órbitas dos planetas eram circulares) Porém, essas elipses têm excentricidade baixa, tornando-as muito parecidas com circunferências. Os astrônomos usam com frequência esta aproximação (circunferências em vez de elipses) para facilitar os complexos cálculos astronômicos.

2ª. Lei: “O vetor que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.”
Como o Sol ocupa um dos focos da elipse cada planeta em seu movimento passa pelos pontos denominados periélio e afélio.

Periélio corresponde ao ponto de maior proximidade ao Sol, o afélio, o ponto de maior afastamento do planeta em relação ao Sol. A órbita circular pode ser entendida como o caso externo em que os focos da elipse coincidem.
Um planeta, em sua órbita em torno do Sol se move de tal forma que o vetor posição, com origem no centro do Sol e extremidade no centro do planeta, varre as áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
MATEMÁTICA.
Sugestão para a introdução da atividade.

(http://www.youtube.com/watch?v=pAaFbTJg2g0)
Introdução a elipse.
Veja uma elipse, e suas componentes, com o centro na origem e com o eixo maior paralelo ao eixo das abscissas ox:

Onde:
a = semi-eixo maior
b = semi-eixo menor
c = distância entre um foco e a origem
Observação: Distância focal = 2c
Uma elipse nessas condições pode ser representada pela equação:



2º MÓDULO:
* Através de softwares trazidos de a internet discutir e aplicar as Leis de Kepler, em física e em matemática utilizar as elipses ou seja superfícies.
*Utilizar softwares e vídeos do yotube para melhor compreensão dos conteúdos.
*Pode-se também fazer algumas figuras geométricas que ajudem na compreensão de figuras tridimensionais para visualização das elipses.